Odpowiedź:
f ( x ) = [tex]log_a x[/tex] a ∈ [tex]R^+[/tex] \ { 1 } x ∈ [tex]R^+[/tex]
P ( 9, - 2)
więc
- 2 = [tex]log_a 9[/tex] ⇒ a = [tex]\frac{1}{3}[/tex]
a ) a = [tex]\frac{1}{3}[/tex] f ( x ) = [tex]log_{1/3} x[/tex]
============
b) f ( 1/9) - f ( 1/3) = [tex]log_{1/3} \frac{1}{9} - log_{1/3} \frac{1}{3} = 2 - 1 = 1[/tex]
==============================================
c ) x ∈ ( 0, 1 ) ⇒ f ( x) ∈ ( 0 , +∞ )
===================================
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]log_a x = b[/tex] ⇔ [tex]a^b = x[/tex]
====================
W zadaniu korzystamy z:
Skoro punkt P(9, -2) należy do wykresu funkcji [tex]f(x)=\log_ax[/tex] to jego współrzędne muszą spełniać jej równanie.
Stąd:
[tex]\large\text{$f(x)=\log_ax$} \\\\ \large\text{$-2=\log_a9\qquad\iff\qquad a^{-2}=9$}\\\\ \large\text{$a^{-2}=3^2$}\\\\ \large\text{$a^{-2}=(\frac13)^{-2}$}\\\\ \Large\text{$\bold{a=\frac13}$}[/tex]
Czyli pełny wzór funkcji: [tex]\large\text{$f(x)=\log_\frac13x$}[/tex]
[tex]\large\text{$f(\frac19)-f(\frac13)=\log_\frac13\frac19-\log_\frac13\frac13$} \\\\ \large\text{$f(\frac19)-f(\frac13)=\log_\frac13(\frac13)^{2}-1$} \\\\ \large\text{$f(\frac19)-f(\frac13)=2\log_\frac13\frac13-1$} \\\\\large\text{$f(\frac19)-f(\frac13)=2\cdot1-1$}\\\\\Large\text{$\bold{f(\frac19)-f(\frac13)=1}$}[/tex]
Z rysunku widać, że dla argumentów (iksów) z podanego przedziału wykres funkcji znajduje się powyżej osi 0X, czyli:
[tex]\large\text{$\bold{dla\ \ x\in(0,\,1)\ \ funkcja\ przyjmuje\ warto\'sci\ \underline{dodatnie}\ ( > \!0)}$}[/tex]
